Делитель и RC-фильтр

В уроке 1.5 мы считали делитель из двух резисторов. Теперь заменим нижний резистор конденсатором — и получим один из самых полезных узлов электроники: RC-фильтр. Он гасит помехи, сглаживает сигналы, задаёт время задержки. И он же лежит в основе нашего мультивибратора (урок 3.8).

Делитель как кирпичик

Сначала коротко про делитель: на реальных схемах ты будешь узнавать его по двум резисторам между питанием (или сигналом) и землёй с выходом из средней точки. Где он встречается:

• обратная связь стабилизатора — задаёт выходное напряжение (урок 3.6);
• вход АЦП — понижает напряжение батареи до диапазона микроконтроллера;
• опорное напряжение для компаратора или смещение транзистора.

Калькулятор делителя напряжения

Uвх, В R1, Ом R2, Ом Нагрузка Rн, Омпусто = без нагрузки

Uвых

—

Ток делителя

—

Мощность на R1 / R2

—

Выходное сопротивление R1‖R2

—

Подобрать R2 под нужное Uвых (ряд E24)

Нужно Uвых, В

Uвых = Uвх · R2 / (R1 + R2). С нагрузкой вместо R2 берётся R2‖Rн. Подробнее: Хоровиц, гл. 1, §1.03–1.05.

RC-цепь во времени

Подключим через резистор R незаряженный конденсатор C к источнику напряжения U. В первый момент конденсатор пуст и ведёт себя как короткое замыкание: ток максимальный, U/R. По мере заряда напряжение на нём растёт, ток падает, и заряд замедляется. Напряжение растёт по экспоненте:

Uc(t) = U · (1 − e^(−t/τ)), где τ = R·C — постоянная времени (секунды, если R в омах, а C в фарадах).

Полезные числа:

Время	Заряд конденсатора
1τ	≈ 63 %
2τ	≈ 86 %
3τ	≈ 95 %
5τ	> 99 % — «практически заряжен»

Аналогия: наполнение бочки через узкий шланг из водонапорной башни. Пока бочка пустая, вода хлещет сильно, а по мере наполнения напор падает и поток слабеет. Узость шланга — R, ширина бочки — C.

Пример: R = 10 кОм, C = 100 нФ → τ = 10⁴ · 10⁻⁷ = 1 мс. Через 5 мс конденсатор практически заряжен.

💡Совет

Удобные единицы: кОм × мкФ = мс. 10 кОм · 0,1 мкФ = 1 мс; 100 кОм · 22 нФ = 100 кОм · 0,022 мкФ = 2,2 мс. Последнее число встретится нам в мультивибраторе.

RC-фильтр нижних частот

Теперь посмотрим на ту же цепь «с точки зрения частоты». Сопротивление конденсатора переменному току (реактивное сопротивление) падает с ростом частоты: Xc = 1/(2πfC). Значит, R и C образуют делитель, коэффициент которого зависит от частоты:

• на низких частотах Xc огромное — конденсатор «не мешает», выход почти равен входу;
• на высоких частотах Xc маленькое — конденсатор закорачивает выход на землю.

Получился фильтр нижних частот (ФНЧ, low-pass filter): низкие частоты проходят, высокие подавляются.

Частота среза: fc = 1 / (2π·R·C).

Рис. 3.2. RC-фильтр нижних частот: ниже частоты среза fc = 1/(2πRC) сигнал проходит почти без потерь, на fc ослаблен на 3 дБ (в 0,707 раза), выше fc спадает на 20 дБ на каждую декаду частоты (6 дБ на октаву). Пунктир — асимптоты, по которым АЧХ удобно рисовать от руки.

Что важно знать про АЧХ (амплитудно-частотную характеристику):

• на частоте среза выход ослаблен в √2 раз (до 0,707 входа). Это −3 дБ — точка, где мощность сигнала падает вдвое;
• выше fc амплитуда падает в 10 раз на каждую декаду (−20 дБ/дек), или вдвое на каждую октаву (−6 дБ/окт);
• на частоте среза выход отстаёт от входа по фазе на 45°.

Пример: R = 10 кОм, C = 100 нФ → fc = 1/(2π · 10⁴ · 10⁻⁷) ≈ 159 Гц. Помеха 50 Гц пройдёт почти без ослабления, а наводка 16 кГц ослабнет примерно в 100 раз (две декады выше fc).

Если поменять R и C местами — конденсатор последовательно, резистор к земле, — получится фильтр верхних частот (ФВЧ): он пропускает изменения и не пропускает постоянную составляющую. Частота среза та же: 1/(2πRC).

📖Из учебникагл. 1, §1.13, с. 30; §1.18–1.19, с. 38–45

Хоровиц сначала разбирает RC-цепь во времени (экспонента, постоянная времени, §1.13), а потом — в частотной области через комплексные сопротивления (§1.18). В §1.19 он показывает ФВЧ как «делитель из C и R» (рис. 1.52) и выводит, что ФНЧ и ФВЧ имеют одинаковую частоту среза 1/(2πRC) со спадом 6 дБ на октаву. Комплексные числа в нашем курсе не обязательны, но если любишь математику — эти страницы стоят того.

Делитель + конденсатор: фильтр на входе АЦП

Частый приём на платах: конденсатор параллельно нижнему плечу делителя. Как его считать? Вспомни эквивалентный источник из урока 1.5: для конденсатора делитель выглядит как источник с внутренним сопротивлением R1‖R2. Значит:

fc = 1 / (2π · (R1‖R2) · C).

Пример: делитель напряжения батареи 100 кОм + 100 кОм и конденсатор 100 нФ. R1‖R2 = 50 кОм → fc = 1/(2π · 5·10⁴ · 10⁻⁷) ≈ 32 Гц. Напряжение батареи меняется медленно, ему это не мешает, а импульсные помехи от моторов и радиомодулей заметно подавлены.

🛠Особенность Altium

На схеме Altium фильтр — это обычные R и C, САПР не знает, что это «фильтр». Но на плате важно где стоит конденсатор фильтра: вплотную к выводу, который он защищает (входу АЦП), и с коротким путём к земле. Об этом — урок 5.2.

Практика

1. R = 1 кОм, C = 1 мкФ. Постоянная времени? Частота среза? (τ = 1 мс; fc ≈ 159 Гц.)
2. Нужен ФНЧ с fc ≈ 1 кГц, конденсатор 10 нФ. Какой резистор? (R = 1/(2π·1000·10⁻⁸) ≈ 15,9 кОм → из ряда E24 берём 16 кОм.)
3. Во сколько раз фильтр из п. 2 ослабит сигнал 10 кГц? (Декада выше fc → примерно в 10 раз, −20 дБ.)
4. Кнопка на входе микроконтроллера дребезжит: контакты замыкаются и размыкаются несколько миллисекунд. Подбери RC так, чтобы τ ≈ 10 мс, если резистор подтяжки 10 кОм. (C = τ/R = 1 мкФ.)

🧯 Типичные ошибки

Посчитали fc = 1/(RC), забыв 2π

Почему 1/(RC) — это круговая частота в радианах в секунду, а не в герцах.

Как исправить fc в герцах = 1/(2πRC). Ошибка без 2π — в 6,28 раза.

Фильтр не работает: выход «садится» под нагрузкой

Почему Нагрузка встала параллельно конденсатору и образовала с R ещё один делитель.

Как исправить Сопротивление нагрузки должно быть много больше R (правило ×10 из урока 1.5), иначе ставь буфер.

Считали, что выше fc сигнала нет совсем

Почему Однозвенный RC-фильтр ослабляет плавно, всего на 20 дБ на декаду.

Как исправить Для сильного подавления ставят фильтры высших порядков или активные фильтры (Хоровиц, гл. 5).

Проверь себя

1. 1. R = 10 кОм, C = 1 мкФ. Чему равна постоянная времени?

   1 мс10 мс100 мс10 с
2. 2. Во сколько раз ослаблен сигнал на частоте среза RC-фильтра?

   В 2 разаВ √2 ≈ 1,41 раза (−3 дБ)В 10 разНе ослаблен
3. 3. Как изменится частота среза, если увеличить C вдвое?

   Увеличится вдвоеУменьшится вдвоеНе изменится
4. 4. Делитель 10 кОм + 10 кОм, к выходу подключён конденсатор 100 нФ на землю. Частота среза?

   ≈ 80 Гц≈ 160 Гц≈ 318 Гц≈ 32 Гц

🎯Практическое задание~30 мин

Спроектируй узел измерения напряжения батареи 3,0–4,2 В для АЦП на 3,3 В:

1. делитель из номиналов E24, чтобы при 4,2 В на входе АЦП было не больше 3,0 В;
2. конденсатор фильтра так, чтобы частота среза была 10–50 Гц;
3. посчитай ток делителя и время установления (5τ) после включения питания.

Сравни с тем, что получилось в задании урока 1.5.