Законы Кирхгофа

Закон Ома описывает один резистор. Чтобы считать целые схемы, нужны ещё два правила, которые сформулировал Густав Кирхгоф. Они настолько естественные, что ты, скорее всего, уже ими пользуешься.

Узлы и контуры

• Узел (node) — точка, где соединяются три и больше проводника. На схеме её обычно отмечают жирной точкой.
• Ветвь — участок цепи между двумя узлами, по которому течёт один и тот же ток.
• Контур — любой замкнутый путь по цепи.

Закон токов (первый закон Кирхгофа)

Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих.

Заряд не может накапливаться в точке или исчезать в ней. Аналогия — тройник в водопроводе: сколько литров в секунду вошло, столько и вышло, просто разделилось по двум трубам.

Следствие: в последовательной цепи, где элементы соединены цепочкой без ответвлений, ток везде одинаковый.

Закон напряжений (второй закон Кирхгофа)

Сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю. Иначе говоря, обойдя контур и вернувшись в исходную точку, ты вернёшься к исходному потенциалу. Всё напряжение, которое дал источник, «падает» на элементах контура.

Аналогия — горный маршрут по кругу: сколько ни поднимайся и ни спускайся, вернувшись к машине, окажешься на той же высоте.

Следствие: у элементов, соединённых параллельно (между одними и теми же двумя узлами), напряжение одинаковое.

Рис. 1.5. Слева: сколько тока втекает в узел, столько и вытекает (5 = 3 + 2 мА). Справа: R2 и R3 по 2 кОм параллельно дают 1 кОм, всего 2 кОм, ток 12 В / 2 кОм = 6 мА. Он делится поровну между R2 и R3, а 12 В — поровну между R1 и параллельной парой.

Последовательное соединение

Ток один на всех, напряжения складываются, сопротивления тоже:

R = R1 + R2 + …

Общее сопротивление всегда больше самого большого из резисторов цепочки.

Параллельное соединение

Напряжение одно на всех, токи складываются. Складываются проводимости (величины 1/R):

1/R = 1/R1 + 1/R2 + …

Для двух резисторов удобная форма: R = R1·R2 / (R1 + R2). Два одинаковых резистора параллельно дают половину номинала. Общее сопротивление всегда меньше самого маленького из резисторов.

Параллельное соединение обозначают знаком ‖: R2‖R3.

💡Совет

Быстрая оценка без калькулятора. Если в последовательной цепи один резистор намного больше остальных, он почти целиком и определяет сумму: 100 кОм + 100 Ом ≈ 100 кОм. В параллельной цепи всё наоборот — главный самый маленький: 100 Ом ‖ 100 кОм ≈ 100 Ом. Хоровиц советует пользоваться такими прикидками постоянно.

Разбор примера (правая часть рис. 1.5)

Схема: батарея 12 В, R1 = 1 кОм последовательно с параллельными R2 = R3 = 2 кОм.

1. Упрощаем параллель: R2‖R3 = 2·2 / (2+2) = 1 кОм.
2. Общее сопротивление: 1 + 1 = 2 кОм.
3. Ток от батареи: I = 12 В / 2 кОм = 6 мА.
4. Напряжение на R1: 6 мА · 1 кОм = 6 В. На параллельной паре: 6 мА · 1 кОм = 6 В.
5. Токи в ветвях: 6 В / 2 кОм = 3 мА через R2 и столько же через R3.

Проверяем Кирхгофом. Узел: в него втекает 6 мА, вытекает 3 + 3 = 6 мА ✓. Контур через R2: 12 − 6 − 6 = 0 ✓.

Проверка обоими законами в конце расчёта — хорошая привычка: она ловит большинство арифметических ошибок.

📖Из учебникагл. 1, §1.01–1.02, с. 10–13

Оба закона у Хоровица сформулированы как «простые правила» на с. 10. Там же вывод: в последовательной цепи ток везде одинаков, а у параллельных элементов одинаково напряжение. Упражнения 1.1, 1.3 и 1.4 на с. 13 — ровно про последовательное и параллельное соединение.

🛠Особенность Altium

Узел из этого урока в Altium называется цепь (Net) — всё, что электрически соединено. Каждой цепи можно дать имя (метка Net Label), и тогда проводники с одинаковым именем соединены, даже если на схеме они не нарисованы одной линией. Altium сам строит список цепей (netlist) и по нему переносит соединения на плату.

Практика

Посчитай на бумаге, потом проверь законами Кирхгофа:

1. Три резистора 1 кОм, 2,2 кОм и 4,7 кОм последовательно на 12 В. Ток и напряжение на каждом? (Rобщ = 7,9 кОм; I ≈ 1,52 мА; U ≈ 1,52 / 3,34 / 7,14 В. Сумма ≈ 12 В ✓.)
2. Резисторы 100 Ом и 150 Ом параллельно. Эквивалентное сопротивление? (60 Ом — меньше меньшего ✓.)
3. В схеме рис. 1.5 заменили R3 на 6 кОм. Найди ток батареи и ток через R2. (R2‖R3 = 1,5 кОм; Rобщ = 2,5 кОм; I = 4,8 мА; U на паре = 7,2 В; I(R2) = 3,6 мА; I(R3) = 1,2 мА.)

🧯 Типичные ошибки

Параллельные сопротивления просто сложили

Почему Складываются проводимости 1/R, а не сами R. У параллели результат всегда меньше меньшего.

Как исправить Для двух резисторов: R1·R2 / (R1 + R2). Проверка здравым смыслом: ответ меньше каждого из резисторов?

Ошибка в знаке при обходе контура

Почему Напряжение источника и падения на резисторах при обходе берутся с разными знаками.

Как исправить Выбери направление обхода. Подъём потенциала (через источник от − к +) пиши с плюсом, падение на резисторе по току — с минусом.

Элементы ошибочно сочли параллельными

Почему Параллельно соединены только элементы между одними и теми же двумя узлами. Если между ними есть ещё элемент, они не параллельны.

Как исправить Пометь узлы буквами и для каждого элемента выпиши, между какими узлами он стоит.

Проверь себя

1. 1. В узел втекают токи 2 мА и 5 мА, из него вытекает 4 мА и ещё один неизвестный ток. Чему он равен?

   1 мА3 мА7 мА11 мА
2. 2. Два резистора по 10 кОм соединены параллельно. Общее сопротивление?

   20 кОм10 кОм5 кОм0,1 кОм
3. 3. Батарея 9 В, последовательно два резистора. На первом 3,5 В. Сколько на втором?

   3,5 В5,5 В9 ВНельзя определить без сопротивлений
4. 4. К резистору 1 кОм параллельно подключили резистор 1 МОм. Как изменилось общее сопротивление?

   Почти не изменилось (≈ 999 Ом)Уменьшилось вдвоеСтало ≈ 1 МОм

🎯Практическое задание~25 мин

Нарисуй на бумаге цепь: источник 5 В, резистор 330 Ом последовательно с двумя параллельными ветвями. В первой ветви резистор 1 кОм, во второй два последовательных резистора по 470 Ом. Посчитай все токи и напряжения, затем проверь каждый узел и каждый контур по Кирхгофу. Сохрани листок — в уроке 1.8 ты соберёшь похожую цепь и проверишь расчёт мультиметром.